Dossier complet du TPE

Problématique : Pourquoi les hélicoptères volent-ils ?
Cette question étant très large, nous la précisons pour le TPE :
Quelle est la valeur de la portance créée par les pales d'un hélicoptère ?

Un sommaire du dossier est disponible sur le bloc à droite de la page.

Introduction

A) Notre démarche tout au long du TPE

Men love to wonder, and that is the seed of science. – Ralph Waldo Emerson
(Les hommes adorent penser, et c'est la source de la science)

Toute personne curieuse s'est déjà demandée comment un corps plus lourd que l'air peut arriver à voler. Instinctivement, on sait que seuls les corps moins denses que l'air peuvent s’élever. La densité de l’hélicoptère étant supérieure à celle de l'eau, le corps le plus lourd devrait logiquement ne pas voler. Qu’est ce qui peut provoquer ce phénomène rare dans la nature pour un corps inanimé ?

On pourrait tout d’abord penser à la poussée d’Archimède. C’est une force que subit un corps immergé dans un fluide soumis à un champ de gravité. L'augmentation de la pression du fluide provoque une réaction qui se traduit par une force opposée à la force qui plonge le corps dans le fluide. Ici, c’est la gravité ; la force d’Archimède repousse donc l’hélicoptère vers le haut. Cela suffit-il à le faire voler ? Si l'on réfléchit, il est simple de répondre que non, car dans ce cas, nous autres humains volerions aussi.

Il y a donc une autre force en jeu qui contrebalance le poids de l’hélicoptère. Le but de ce TPE sera de montrer laquelle et de trouver la valeur de cette force. Nous devrons tout au long de ce TPE exposer les raisons physiques du vol de l’hélicoptère. Pour cela, nous disposons d’un hélicoptère télécommandé pour nos expériences, et de la théorie sur le sujet.

B) Avantages, historique

L’hélicoptère semble avoir été pensé pour la première fois par les Chinois, puis expérimenté et construit par Léonard de Vinci, et expérimenté de manière plus complexe par le Russe Lomonossov. L’hélicoptère n’a donc cessé de fasciner les civilisations et d’évoluer vers ce qu'il est aujourd’hui.
L'hélicoptère possède un avantage considérable sur l'avion du fait de son aptitude à effectuer un vol stationnaire (maintenir une position fixe en vol). Cela lui permet d'atteindre des endroits inaccessibles aux avions qui doivent toujours utiliser une piste. En contrepartie, l'hélicoptère a besoin d'un moteur bien plus puissant afin de se soulever du sol, limitant en cela sa capacité de chargement. Un hélicoptère est également extrêmement cher, un modèle lambda coûtant environ 10 millions d'euros.

C) Caractéristiques générales d'un hélicoptère

Un exemple d’hélicoptère : Le Dauphin

Image d'hélicoptère

L’Eurocopter AS365 Dauphin est un hélicoptère moyen polyvalent. On considère que c’est un hélicoptère « de base ». Cet hélicoptère à deux moteurs et quatre pales possède les caractéristiques suivantes :

  • Rôle : transport léger.
  • Vitesse maximale : 296 km/h
  • Plafond altitude : 4 000 m
  • Distance franchissable : 897 km
  • Masse à vide : 2256 kg
  • Masse maximale : 4 250 kg
  • Diamètre du rotor : 11,94 m
  • Longueur : 11,63 m
  • Hauteur : 3,9 m
  • Coût : 7,5 millions €, 10 millions US$

Source

I. Les pales et les forces qui s'y appliquent

 

Les pales sont les seuls éléments en mouvement lors du vol, il est donc logique que la force qui permette aux hélicoptères de voler provienne de ce mouvement.

A) Les pales

Les pales d’hélicoptère varient grandement en fonction du type d’hélicoptère et de la fonction de celui-ci. Différents types de pales ont été créés afin de s’adapter le plus possible aux spécificités de chaque hélicoptère.

Exemples de pales :

Photo d'une pale d'hélicoptèrePhoto d'une autre pale d'hélicoptère

Afin de ne pas être perdu pendant le reste de ce TPE, il convient de bien comprendre les notions suivantes :
Vocabulaire technique des pales :

  • Profil : le profil d’une pale est le contour de la coupe transversale de cette pale.
  • Intrados : c’est le contour inférieur du profil.
  • Extrados : c’est le contour supérieur du profil.
  • Bord d’attaque : voir schémas
  • Bord de fuite : voir schémas
  • Angle d’attaque : angle entre la corde et l’horizontale. On l’appelle aussi angle d’incidence.
  • Corde : désigne à la fois la droite et la longueur entre le bord d’attaque et le nord de fuite, notée c .
  • Corde moyenne : courbe (droite pour les pales symétriques) qui relie le bord d’attaque et le bord de fuite en passant par le milieu, notée c’ .
  • Épaisseur : épaisseur maximum de la pale, notée e .
  • Épaisseur relative : 100 $\frac{e}{c'}$
  • Courbure : distance entre la corde moyenne et la corde, notée C .
  • Courbure relative : C/c
  • Surface 3D : surface de la pale.
  • Surface projetée : c’est la surface de la pale sans tenir compte du fait que la pale soit bombée. On l’appelle aussi surface de référence.
  • Finesse : c’est le rapport entre portance et traînée $\frac{F_{Z}}{F_{X}}$

Schéma d'un profil d'une pale symétrique 

Vocabulaire de l’aérodynamique :

  • Fluide : milieu matériel parfaitement déformable. Cela inclut bien entendu les gaz et les liquides mais également les solides. Ils sont considérés comme des fluides extrêmement visqueux. Ils se comportent de la même manière que des liquides mais sur des échelles de temps beaucoup plus longues (exemple : le glacier « coule » si on le photographie chaque jour sur plusieurs années).
  • Pression statique : deux façons de définir, mais cela revient au même.
    1. Pression d’un fluide sans mouvement au sein d’un repère donné.
    2. Pression en un point dont le vecteur mouvement est le même que celui du fluide (Exemple : le poids de la colonne d’air au-dessus de nos têtes, 1 ATM = 1 Bar = 1 013 hPa. Ce poids est aussi une pression).
  • Pression dynamique : pression d’un fluide en mouvement sur un capteur au cœur de ce mouvement. Grossièrement, si la vitesse de ce fluide augmente, la pression dynamique diminue proportionnellement.
    On la calcule ainsi :

$q = \frac{ρv^{2}}{2}$

B) Les forces

La physique étant l’étude des forces sur les corps, il faut étudier les forces principales qui s’appliquent sur notre hélicoptère, et donc sur ses pales.

1 - Poids/Gravité

La première force en jeu, qui est aussi la plus évidente, est la gravité : elle attire tous les objets, donc aussi l’hélicoptère, vers le centre de la Terre.
Voici la relation générale de la force gravitationnelle entre deux corps :

$\overrightarrow{FGravité} = G\frac{m_{1} \cdot m_{2}}{d^{2}}$

:
  • $m$ est la masse en kg
  • $G$ est la constante de gravitation en USI (= 6,67.1011)
  • $\overrightarrow{F}$ est exprimée en $N$
  • Les indices 1 et 2 pour les deux corps concernés par cette force attractive.

Dans notre cas, l’hélicoptère est attiré vers le centre de la Terre. Dans le repère de l’hélicoptère, on considérera que cela l’attire vers le bas.

Cette force s’exerce sur le centre de gravité G, vers le bas et avec une valeur de :

$\overrightarrow{F} gravl  pale = m \cdot  g$

:
  • $m$ est la masse en kg
  • $g$ = 9,78 m.s-1 est la constante de l’accélération de la pesanteur terrestre au niveau de la mer
  • $\overrightarrow{F}$ est exprimée en $N$

2 - Portance

Le fait que les hélicoptères volent se traduit en physique par un vecteur de force de valeur plus grande que celle de la pesanteur terrestre. Son sens est opposé à celui de la gravité.Cette force s'appelle la portance. Elle s’explique, selon le théorème de Bernoulli, de cette façon : une pression plus forte sur l’intrados que sur l’extrados génère une force dirigée vers le haut. Cette force est impliquée à hauteur de 1/3 dans la portance. Les 2/3 restants sont justifiés par la dépression plus importante sur l'extrados que sur l'intrados. La portance est la somme de ces deux forces complémentaires

Soit :

$F_{Z} = \frac{1}{2}pSV^{2}C_{Z}$

:

  • $F$ est en $N$
  • $ρ$ est la masse volumique du fluide
  • $S$ est la surface de référence en m²
  • $V$ est la vitesse en m/s
  • $C_{Z}$ est le coefficient de portance (sans unité)

La portance dépend aussi du Nombre de Reynolds, mais surtout de la vitesse (Nombre de Mach).

3 - Traînée

La traînée est, avec la portance, l’une des deux grandeurs fondamentales en aérodynamique. Elle représente la force qui s’oppose à un objet en mouvement dans un fluide : c'est la résistance au mouvement. Son vecteur est toujours de direction opposée à celle de la poussée.
La traînée augmente proportionnellement avec la poussée.
La traînée d’un obstacle Fx s’exprime ainsi :

$F_{X} = \frac{1}{2}C_{X}ρSV^{2}$

:
  • $F_{X}$ est en $N$
  • $ρ$ est la masse volumnique du fluide
  • $S$ est la surface en en m²
  • $V$ est la vitesse en m/s
  • $C_{X}$ est le coefficient de traînée (sans unité)

Le rapport $\frac{F_{Z}}{F_{X}}$ s’appelle la finesse. Le choix d’un profil plutôt qu’un autre est essentiellement basé sur cette finesse dans les futures conditions de vol du profil.

4 - Somme des forces

Schématisation des forces

Schéma de la somme des forces

II. Notre modèle réduit

 

Voici l’hélicoptère modèle réduit avec lequel nous avons fait toutes nos expériences :

Notre hélicoptère réduit

A) Présentation de notre hélicoptère réduit

L’hélicoptère contra-rotatif avec rotor anti-couple :

Poids : $4,058 \cdot 10^{-2}$ kg Mesuré
Nombre de pales : 4 (deux par niveau) Mesuré
Envergure : $1,88 \cdot 10^{-1}$ m Mesuré
Longueur : $1,94 \cdot 10^{-1}$ m Mesuré

Une pale :

Longueur : $8,0 \cdot 10^{-2}$ m Mesuré
Largeur minimum : $1,1 \cdot 10^{-2}$ m Mesuré
Largeur maximum : $2,3 \cdot 10^{-2}$ m Mesuré
Corde : $1,1 \cdot 10^{-2}$ m Mesuré
Epaisseur : $1 \cdot 10^{-3}$ m Mesuré
Épaisseur relative (Épaisseur / Corde) : 9% Calculé
Positionnement de l’épaisseur relative sur la corde : 0.4 Estimé
Surface projetée : $1,162 \cdot 10^{-3}$ m² Calculé

Fonctionnement :

Télécommandé via application Apple (iSuperHeli).
Possibilité, entre autres, de faire varier la puissance délivrée par le moteur électrique.
On exprimera cette puissance en %, telle que la puissance minimum soit 0% et la puissance maximum 100%.

B) Démonstration sur la vitesse moyenne de l'aile

No amount of experimentation can ever prove me right; a single experiment can prove me wrong.- Einstein.
(Un grand nombre d'expérimentations ne pourront jamais prouver que j'ai raison, une seule expérience peut prouver que j'ai tort.)

La démonstration est donc le meilleur moyen pour généraliser une règle observée.

But : Démontrer que la vitesse moyenne des différents points de la pale est égale à la vitesse du point situé au milieu de la pale.

Soient A1, A2, …, Ai les points de l’aile, de masses respectives m1, m2, …, mi et de vitesses respectives v1, v2, …, vi.

Pour tout Ai, on a : pi = mi.vi (où p est la quantité de mouvement).
Soit M la masse de l’aile telle que M = ∑ mi.
Soit G le centre de gravité de l’aile.

$\overrightarrow{OG} = \frac{\sum_{}^{} (mi \cdot \overrightarrow{OA}i)}{\sum_{}^{} mi} = \frac{\sum_{}^{} (mi \cdot \overrightarrow{OA}i)}{M}$ (où O est l'origine du repère Galiléen)

NB : En physique, un référentiel galiléen est un référentiel 3D dans lequel un objet isolé (sur lequel ne s’exerce aucune force ou sur lequel la résultante des forces est nulle) est en mouvement de translation rectiligne uniforme (l'immobilité étant un cas particulier de mouvement rectiligne uniforme) : le vecteur mouvement est constant au cours du temps.
Source (d’autres sites en parlent, mais celui-ci est le seul rédigé correctement).

Soit       $V_{G} = \frac{d}{dt} \overrightarrow{OG}$

Alors     $M \cdot v = M \cdot \frac{d}{dt} (\frac{\sum_{}^{}(mi \cdot \overrightarrow{OA}i)}{M})$

$= \sum_{}^{}(\frac{d}{dt(mi \cdot \overrightarrow{OA}i)})$

$= \sum_{}^{}(m_{i} \cdot \frac{d}{dt} \overrightarrow{OA}i)$

$= \sum{}^{}(m_{i} \cdot v_{i})$

$= \sum{}^{}(p_{i})$

On a donc démontré que la vitesse moyenne d’une aile est égale à la vitesse de son centre de gravité.
Néanmoins, cette démonstration peut être simplifiée étant donné que tous les points $A_{i}$ sont de masses égales (dans une pale standard d’hélicoptère, ce qui est notre cas). On pose donc que tous les $m_{i}$ sont égaux : $m_{i}$ = $m$

$\sum{}^{}(m_{i} \cdot v_{i})$

= $M \cdot v = m \cdot \sum{}^{}(v_{i})$

Soit $N$ le nombre de points ($N = + \infty$).
On a donc $M$ = $m \cdot N$
On remplace et on obtient :

$m \cdot M \cdot v = m \cdot \sum{}^{}v_{i}$

$v = \sum{}^{}v_{i} / N$

Donc $v$ est la moyenne des $v_{i}$, et le centre de gravité est situé au centre de la pale.

Dans une pale standard, $G(x_{G} ; y_{G})$ tels que :

  • $x_{G} = \frac{x0 + xAi}{2}$
  • $y_{G} = \frac{y0 + yAi}{2}$

 C’est pour cela que, par la suite, nous considérerons que la vitesse moyenne de notre pale est égale à celle de centre de gravité (milieu de la pale).

C) Vitesse des pales de l'hélicoptère

1 - Expérience (avec le logiciel Audacity)

But : Déterminer la vitesse moyenne des pales. Cette valeur est indispensable pour calculer la portance générée par les pales.
Nous ne possédons aucun matériel spécial donc nous mettons au point un protocole expérimental.
Matériel : l'hélicoptère décrit plus haut, un morceau de scotch, un micro, le logiciel Audacity sur ordinateur.
Audacity est un éditeur audio libre, à la fois complet et simple d'utilisation. Il permet l'accès aux courbes du son : nous pouvons ainsi manipuler les fichiers aux formats WAV, AIFF, OGG ou MP3 : suppression des silences, d'effets spéciaux, suppression des bruits parasites, mixage, etc. Il est également possible de copier, coller et assembler des extraits sonores pour créer des projets sur plusieurs pistes. Nous n'utiliserons que la fonction de base : représentation des courbes du son.

Protocole expérimental :

  • Nous branchons le micro via USB sur l'ordinateur, nous lançons le logiciel Audacity.
  • Nous fixons un morceau de scotch sur l'extrémité d'une des pales. Nous essayons de minimiser l'impact du scotch sur le vol : nous prenons le bout de scotch le plus petit possible et nous le fixons de façon à ce qu'il ne déborde pas trop.
  • Nous démarrons l'hélicoptère tout en le maintenant au sol. Nous approchons progressivement le micro allumé vers l'extrémité de la pale, de façon à ce qu'à chaque tour, le morceau de scotch touche le micro. Nous nous taisons et déclenchons l'enregistrement.
  • Nous répétons ce protocole pour les cinq puissances suivantes du moteur : 8%, 45%, 50%, 70% 100%.

Analyse des résultats :

Les courbes du son obtenues sur Audacity sont assez claires car le silence lors de l'enregistrement a limité les bruits (et donc les courbes) parasites. Nous pouvons donc distinguer deux courbes distinctes :

  • Une courbe de grande amplitude : c'est celle du choc entre le micro et le morceau de scotch.
  • Une courbe d'amplitude inférieure mais de fréquence beaucoup plus élevée : c'est le bruit parasite de l'hélicoptère en fonctionnement.

 

Courbe de son sur Audacity 

Après avoir grossi une des courbes, nous comptons donc le nombre de motifs élémentaires (espace entre chaque pic) en un temps donné pour trouver le nombre de tours/min.
Afin de limiter l'erreur, nous recomptons sur plusieurs laps de temps différents et trouvons une valeur moyenne de nombre de tours.min-1 de la pale.

C'est de cette manière que nous avons déterminé le nombre de tours.min-1 de la pale pour chaque puissance de l'hélicoptère.

On applique la formule suivante pour trouver la vitesse moyenne de la pale :

$V = l(2 \pi N) / 60$

:

  • $V$ est la vitesse moyenne de la pale, en m.s-1
  • $l$ est la moitié de la longueur de la pale (comme démontré plus tôt), en mètres (m)
  • $N$ est la fréquence de la révolution de l’aile, en tours.min-1

De cette façon, nous obtenons la vitesse moyenne de la pale à différentes valeurs de la puissance de l’hélicoptère.

Puissance Moteur, en % de sa puissance maximale 8 50 100
Tr.min-1 720 1980 2940
V en m.s-1 2,45 6,74 10,0
V en km.h-1 8,82 24,3 36,0

Vérification des résultats :

Ces données semblent cohérentes et plausibles.

Fin de l’expérience.

Plus tard dans la séance, lors d’un moment de détente, nous nous amusons à faire voler l’hélicoptère. Le morceau de scotch était resté sur la pale et nous constatons que l’hélicoptère ne vole plus correctement : il est très dur à faire décoller, il vole de travers et n’est plus contrôlable.
Nos résultats sont donc possiblement faux et nous devons trouver un autre moyen de déterminer la vitesse moyenne d’une pale.

Par quels facteurs cette expérience est-elle potentiellement faussée ?

Hypothèses :

  1. Le poids du scotch a une influence sur l'hélicoptère, malgré tous nos efforts pour minimiser son impact.
  2. Le scotch offre une résistance bien supérieure, qui plus est inégale dans le temps.

Expériences pour affirmer/infirmer les hypothèses :

  1. Quel est le rapport entre les deux poids (morceau de scotch et poids de l’hélicoptère) ? Il faut donc peser le morceau de scotch. Bien sûr, il est trop léger pour être détecté par la balance du lycée. On sait donc que sa masse est inférieure à un centième de gramme. Comment être plus précis ? On pèse 20 morceaux de scotch superposés (chaque morceau a les mêmes dimensions que celui de l’expérience) : ils pèsent 0,88g.
    20 morceaux de scotch = 0,88g
    1 morceau de scotch = 0,044g = 4,4 .10-5 kg
    L’hélicoptère ayant une masse de 4,058.10-2 kg, il est presque 1000 fois plus lourd que le bout de scotch et n’est donc pas grandement affecté par le poids du scotch.
  2. Cette hypothèse devrait être juste mais elle est très dure à prouver car le meilleur protocole trouvé n’est pas du tout rigoureux. En soufflant sur la pale scotchée, nous nous apercevons que le morceau de scotch se soulève : il crée donc une résistance supplémentaire à l’air. Nous ne pouvons en aucun cas déterminer la valeur de cette résistance à l’aide de cette expérience. Mais l’intérêt du TPE n’étant pas dans cette expérience-là, nous décidons de nous contenter de cette démonstration.

2 - Expérience (avec le stroboscope)

But : Déterminer la vitesse moyenne des pales. Cette valeur est indispensable pour calculer la portance générée par les pales.

Matériel : L’hélicoptère décrit plus haut, un stroboscope.

Un stroboscope est un appareil dédié à l’étude d’objets en mouvement (en rotation, vibration, oscillation...) grâce à des flashs lumineux intermittents, dont la fréquence peut être définie, qui font apparaître ces objets stationnaires. L’appareil s’utilise dans l’obscurité ou la pénombre. Cela permet d'observer des phénomènes périodiques dont la fréquence est trop élevée pour l'œil humain, qui n’en perçoit pas la discontinuité.

Protocole expérimental :

  1. Nous assombrissons la pièce. Nous collons une pastille sur une pale afin de la repérer plus facilement quand elle sera en mouvement. Nous accélérons la pale jusqu'à la puissance voulue du moteur (puissance à laquelle on veut calculer la vitesse de la pale). Nous mettons le stroboscope en marche.
  2. Nous augmentons la fréquence jusqu'à son maximum (300 Hz = 300 éclairs par seconde) : nous voyons huit pales (sur le niveau du dessus seulement) bouger au ralenti. Nous réduisons progressivement la fréquence des éclairs, et ce jusqu'à ne plus voir que deux pales immobiles. La pastille rouge apparaît sur les deux pales visibles : cette fréquence marque donc celle à laquelle chaque pale fait un demi-tour.
  3. Nous continuons à réduire progressivement la fréquence des éclairs, et ce jusqu'à ne plus voir que deux pales immobiles. La pastille rouge apparaît sur UNE SEULE pale : la pale a fait exactement un tour entre les deux éclairs. Comme c’est la première fois que nous rencontrons ce cas de figure (pale immobile et une seule pastille visible) dans notre expérience, et que la fréquence initiale était la plus haute (par opposition à la plus basse), nous pouvons affirmer que la pale a fait exactement UN tour entre les deux éclairs, et non deux, trois, ou un nombre entier de tours.
  4. Nous ne touchons plus à rien une fois que ce cas de figure est atteint et nous relevons la fréquence (en Hz) : c’est le nombre de tours par seconde de la pale.
  5. Nous répétons ce protocole pour les cinq puissances suivantes du moteur  : 8%, 45%, 50%, 70%, 100%.

 

 

Analyse des résultats : Nous appliquons la formule suivante pour trouver la vitesse moyenne de la pale :

$V = l(2 \pi N) / 60$

:
  • $V$ est la vitesse moyenne de la pale, en m.s-1 (m/s)
  • $l$ est la moitié de la longueur de la pale (on prend la moitié pour obtenir la vitesse moyenne entre l’extrémité, plus rapide et la partie la plus lente, située près du rotor) [comme démontré plus haut]. Cette longueur est exprimée en mètres (m)
  • $N$ est la fréquence de la révolution de l’aile, en tours.min-1

De cette façon, nous obtenons la vitesse moyenne de la pale à différentes valeurs de la puissance de l’hélicoptère.

Puissance Moteur, en % de sa puissance maximale 8 45 50 70 100
Hz 19 35 37 45 50
Tr.s-1 19 35 37 45 50
Tr.min-1 1140 2100 2220 2700 3000
V en m.s-1 4,78 8,80 9,30 11,3 12,6
V en km.h-1 17,2 31,7 33,5 40,7 45,2

 

Vérification des résultats et comparaison avec l’expérience précédente :

Nous répétons le protocole expérimental pour le niveau de pales inférieur, afin de vérifier si nos données sont plausibles et cohérentes. En effet, les deux niveaux de pales doivent tourner à la même vitesse, sans quoi cette différence de vitesse entraînerait une rotation de l’appareil (action-réaction, 3ème loi de Newton), dans le sens inverse des pales les plus rapides.

Nous trouvons les valeurs suivantes :

Puissance Moteur, en % de sa puissance maximale 8 50 100
Hz 20 34 44
Tr.s-1 20 34 44
tr.min-1 1200 2040 2640
V en m.s-1 4,08 6,94 11,1
V en km.h-1 14.7 25,0 39,8

 
Ces valeurs sont légèrement différentes, mais rien de très significatif. Nous nous y attendions car nous remarquons que quand la pale du haut ne bouge plus (illusion due au stroboscope), celle du bas bouge toujours. De plus, un hélicoptère contrarotatif comme celui-ci (deux niveaux de pales qui tournent chacun dans un sens opposé) n’a pas besoin de rotor de queue, ni pour tourner, ni pour être stable. Sa présence sur notre appareil prouve bien que le système contrarotatif est limité (les industriels vont toujours au plus rentable, et ça ne passe sûrement pas par l’ajout d’un rotor inutile).

Dans notre cas, il y a donc des facteurs qui perturbent la vitesse des pales inférieures (car il est peu probable que les pales supérieures aient accéléré).

Hypothèse : Des perturbations de l’air (turbulences) dues au mouvement des pales du dessus réduisent la vitesse des pales du dessous. Cette hypothèse est malheureusement invérifiable et/ou indémontrable à notre niveau.

3 - Corrections et précisions apportées (mesure HES)

Nous insérons ensuite nos valeurs de vitesses dans nos formules et cela nous donne des résultats bien inférieurs à la valeur théorique. En effet, l’hélicoptère décolle à 45% de sa puissance maximum durant nos expériences, c'est-à-dire que la portance est de 0,40 N environ. Or, nous obtenons une force de 0,14 N.
Il y a donc un effet, une force dirigée vers le haut qui «aide» l’hélicoptère à décoller. Nous trouvons rapidement que l’effet de sol pourrait être la cause de cette anomalie.

L’effet de sol est un phénomène aérodynamique qui, lorsque le rotor est à une hauteur inférieure à la moitié de son envergure, tend à :

  • Supprimer les turbulences autour des pales, c'est-à-dire réduire la traînée des pales et donc les rendre plus performantes,
  • Renvoyer vers l'hélicoptère les turbulences créées par la rotation des pales. La masse d’air déplacée vers le bas rebondit contre le sol et vient créer une surpression sous les pales.

L'effet de sol crée une force verticale orientée vers le haut. Il explique le fait que l’hélicoptère, Dans l’Effet de Sol (DES), décolle avant que les pales n'aient créé suffisamment de portance pour vaincre la pesanteur terrestre.
Il faut donc refaire les mesures de vitesse Hors Effet de Sol (HES) pour savoir quand l’hélicoptère décolle HES.

Le seul fait de mettre sa main sous l’hélicoptère pour le tenir avant le décollage crée un effet de sol. Nous recherchons donc des méthodes pour ne pas influencer la portance créée. Nous pensons donc à suspendre l'hélicoptère au bout d’un fil. Cette méthode aurait été excellente : en effet, la vitesse doit être relevée dès que le fil n’est plus tendu. Mais il n’y a aucun point d’attache fixe possible pendant le vol .
Nous optons donc pour une solution moins rigoureuse : nous tenons l’hélicoptère en marche en l’air puis nous le lâchons : nous considérons que s’il reste à la même hauteur sans être tenu, c’est que la vitesse critique du décollage est atteinte.
Après plusieurs dizaines d’expériences, nous considérons que l’hélicoptère décolle à 70% de sa puissance maximum HES.

L’effet de sol peut être utilisé de plusieurs manières différentes :

  • Par les avions et hélicoptères pour réduire leur consommation d’énergie tout en gardant la même vitesse et altitude.
  • Par les voitures de course pour rester plaquées au sol. Ceci ne faisant pas partie de notre TPE, nous ne nous étendrons pas sur ce sujet. Pour plus d’informations, cf. Source
  • Certains engins se servent uniquement de l’effet de sol pour se déplacer. Ce sont le plus souvent des véhicules furtifs car voler à la surface de l’eau, bien que très périlleux, permet d’échapper aux radars. Le plus connu est l’Ekranoplan, développé par l’URSS pendant la Guerre Froide. Images d'archive ici.

NB : l'image de la page d'accueil démontre bien l'effet du souffle sur le terrain sous l'hélicoptère. On le voit bien, l'eau est expulsée sur les côtés ; c'en est de même pour l'air, ce qui diminue les turbulences et donc la traînée. Cette image est aussi intéressante pour un autre aspect : l'eau est expulsée en fines gouttes, sensibles au mouvement de l'air autour d'elles. Ici, on voit qu'elles ont tendance à remonter vers la pale, contre la gravité. Cela prouve bien que l'air est en constant mouvement autour des pales. Ce mouvement ressemble à un mouvement de convection.

4 - Conclusion

Notre hélicoptère réduit décolle à 45% DES, et à 70% HES.

Puissance Moteur, en % de sa puissance maximale 8 45 50 70 100
Tr.min-1 1140 2100 2220 2700 3000
V en m.s-1 4,78 8,80 9,30 11,3 12,6
V en km.h-1 17,2 31,7 33,5 40,7 45,2

 

III. Calcul de la portance

A) Bernouilli

1 - Calcul de la portance avec le théorème de Bernoulli

Daniel Bernoulli, médecin, physicien et mathématicien suisse du XVIIIème siècle, publia en 1738 Hydrodynamica, dans lequel il expose un théorème fondamental à la mécanique des fluides. Ci-dessous le théorème de Bernoulli, optimisé pour le rendre plus simple pour l’utilisation que nous allons en faire. On utilise ici la formulation usuelle, soit la formule pour un écoulement incompressible, irrotationnel et d’un fluide parfait :

$(\frac{v_{A^{2}}}{2g}) + \frac{p_{a}}{ρ \cdot g} + z = (\frac{v_{B^{2}}}{2g}) + \frac{p_{B}}{ρ \cdot g} + z$

$(l_{A^{2}} - l_{B^{2}}) \frac{ρ \cdot S}{2} \cdot \frac{v^{2}}{d^{2}} = \Delta F$

:
  • $S$ surface de référence en m²
  • $ρ$ masse volumique de l’air, en kg.m-3
  • $g$ pesanteur terrestre en N.kg-1 = m.s-2
  • $p$ pression en Pascal (Pa)
  • $F$ force en N
  • $v$ vitesse en m.s-1
  • $d$ distance en m (moyenne de lA et lB)
  • $l$ longueur en m
  • Les indices A et B représentent les valeurs aux points A et B
  • lA et lB représentent les distances entre les points de séparation et de fusion du flux

On considère que :

  • lA est égale à deux fois la longueur de la corde (lA = 2c).
  • lB est égale à lA moins l’épaisseur de la pale (lB = lA - e).

 

Lalb 

Nous remplaçons les inconnues de la formule par nos données et nous obtenons les résultats suivants :

Puissance Moteur, en % de sa puissance maximale 8 45 50 70 100
Vitesse des pales en m.s-1 4,78 8,80 9,30 11,3 12,6
Portance Bernoulli en N 8,2.10-4 2,79-3 3,12-3 4,61-3 5,70-3
Portance Bernoulli Hélicoptère en N 3,29-3 1,12-2 1,25-2 1,85-2 2,28-2

3 - Sources d'erreurs éventuelles

Nous nous retrouvons perplexes : nos valeurs sont bien trop faibles (environ 20 fois inférieures aux valeurs théoriques). En effet, notre hélicoptère de 40 grammes devrait décoller à 0,40 N.

Aerodynamically, the bumble bee shouldn't be able to fly, but the bumble bee doesn't know it so it goes on flying anyway. – Mary Kay Ash
(Aérodynamiquement, le bourdon ne devrait pas pouvoir voler, mais le bourdon ne le sait pas donc il vole).

Après mûre réflexion, nous émettons quelques possibles raisons scientifiques à cela :

  • La masse volumique de l’air n’était pas exactement à 1,226 kg.m-3 dans nos conditions
  • lA et lB étaient "approximées"
  • Et nous n’avons pas utilisé la formule pour les fluides compressibles (et l’air en est un)

Afin d’être plus précis, il aurait fallu utiliser l’équation pour les fluides compressibles :

$(\frac{V_{A^{2}}}{2g}) + \frac{p_{A}}{ρ \cdot g} + z = (\frac{V_{B^{2}}}{2g}) + \frac{p_{B}}{ρ \cdot g} + z$

Tout ceci contribue à un résultat faussé, aggravé par le fait que plusieurs de ces valeurs ont été mises au carré.

Nous pensons aussi à une erreur d’unités dans la formule. Il faut donc vérifier que la formule est homogène, c'est-à-dire que les deux membres de l’équation sont exprimés dans les mêmes unités. Voici la formule de Bernoulli que nous avons utilisé :

$(l_{A^{2}} - l_{B^{2}}) \frac{ρ \cdot S}{2} \cdot \frac{v^{2}}{d^{2}} = \Delta F$

Ce qui nous donne les unités suivantes :

$(m^{2} - m^{2}) (\frac{kg \cdot m^{-3} \cdot m^{2})}{2} \cdot \frac{m^{2} \cdot s^{-2}}{m^{2}} = N$

$m^{2}(kg \cdot m^{-3} \cdot m^{2}) \frac{m^{2} \cdot s^{-2}}{m^{2}} = N$

$\frac{m^{2} \cdot kg \cdot m^{-3} \cdot m^{2} \cdot m^{2} \cdot s^{-2}}{m^{2}} = N$

$m^{2} \cdot kg \ m^{-3} \cdot m^{2} \cdot s^{-2} = N$

$m \cdot s^{-2} \cdot kg = N$

Le newton exprime une force. Une force correspond à l'accélération d'une masse rapportée sur une distance, elle est donc exprimée en m.s-2.kg.
Les unités de l’équation sont donc équilibrées, ce n’est pas de là que l’erreur provient.

$\Delta F = (x^{2} - (x - y)^{2}) \cdot \frac{ρ \cdot S}{2} \cdot \frac{v^{2}}{d^{2}}$

$x = \frac{y \cdot ρ \cdot S \cdot 4v^{2} + 2 \Delta Fy}{4 \Delta F}$

Nous remplaçons par nos valeurs, nous trouvons donc une équation à double inconnue que nous allons développer le plus possible. Après quelques calculs, nous obtenons :

$\left\{
\begin{array}{l c r}
x = 0,956\\
y = -1,05x
\end{array}
\right.$

Afin de connaître les valeurs de $x$ et $y$, il nous faudrait un système d’équations, soit un deuxième $\Delta F$ connu de façon certaine.

 

Nous décidons ensuite de déterminer la vitesse des pales qu'il aurait fallu avoir pour obtenir une portance correcte. Pour ce faire, nous affilions le théorème de Bernoulli à la fonction la plus proche. Nous considérons donc la fonction polynôme du second degré $f(x) = 3,606 \cdot 10^{-5} x^{2}$
Graphiquement et par le calcul, nous trouvons que notre hélicoptère aurait dû décoller HES à la puissance 43%. Ce n'est pas le cas, nous abandonnons ce théorème trop imprécis pour nous.

Nous apprenons quelques temps après qu'utiliser le théorème de Bernoulli pour faire ces calculs suppose de connaître la vitesse instantané à deux stations différentes. Et c'est pratiquement impossible avec notre matériel. Nous recherchons donc une méthode plus sure pour calculer la valeur de la portance. Nous trouvons le logiciel X-Foil.

B) XFoil

1 - Présentation du logiciel, Re et Mach

XFoil

X-Foil (téléchargé ici) est un logiciel de soufflerie virtuelle. A partir d’un profil NACA, et de divers facteurs (Nombre de Mach, Nombre de Reynolds, Angle d’incidence, …) X-Foil calcule tout type de valeurs de forces (portance, traînée,…) et les exprime à l’aide de coefficients dits adimensionnalisés (c'est-à-dire qu’ils ne varient pas en fonction de la vitesse ou du nombre de Reynolds).

Nombre de Reynolds

C'est Reynolds, un ingénieur anglais spécialiste de l'hydrodynamique, qui a introduit ce nombre portant son nom et qui est constamment utilisé dans les calculs.

$Re = V \cdot l / v$

  • La corde de l'aile l, en m
  • La vitesse relative de la pale par rapport à l'air V, en m.s-1
  • La viscosité cinématique du fluide v, en m².s-1
  • Re n’a pas d’unités

Tant que les conditions atmosphériques sont normales, la viscosité cinématique du fluide reste constante et égale à 0,0000145 m².s-1, on obtient donc :

$Re = V \cdot 1/0,0000145$

$Re = 68000 \cdot V \cdot l$

Le nombre de Reynolds caractérise l’écoulement de l’air autour de la pale, en particulier la nature de son régime (laminaire, transitoire, turbulent).

Dans le cas d’un écoulement parfait, le régime est laminaire, c'est-à-dire qu’autour du profil, l'air en mouvement se comporte comme s'il était constitué par des lames superposées, qui « collent » au profil.

Aile 1

L’écoulement peut être turbulent, c'est-à-dire que les « lamelles » d’air ne suivent plus le profil mais sont totalement désordonnées (en direction comme en vitesse). Cet écoulement provoque une résistance du profil au fluide : la traînée augmente.

Aile 2

Pour résumer,

Schéma récapitulatif

Plus le nombre de Reynolds est grand, plus l'écoulement est laminaire, et donc moins la traînée sera importante.

Le nombre de Reynolds étant proportionnel à la vitesse et à la corde de la pale, nous voyons que nos modèles réduits volent à des nombres de Reynolds beaucoup plus faibles que les planeurs grandeur nature.

Corde, en m Vitesse, en m.s-1 Nombre de Reynolds Type d'appareil
0,25 15 250000 Avion modèle réduit
0,24 12 198000 Emplanture de 4m modèle réduit
0.1 12 82000 Saumon de 4m modèle réduit
1 25 1720000 Emplanture vrai planeur
0.4 25 689000 Saumon vrai planeur

Source

Nous calculons les nombres de Reynolds de notre pale pour chaque vitesse calculée. Nous obtenons :

Puissance Moteur, en % de sa puissance maximale vitesse, en m.s-1 Re
8 4,78 357.101
45 8,80 657.101
50 9,23 696.101
70 11,3 846.101
100 12,6 940.101

 

Nombre de Mach

Le nombre de Mach, noté Ma, exprime le rapport de la vitesse d'un fluide sur la vitesse du son dans ce fluide. Ce n’est pas une valeur fixe. En effet, il varie en fonction des conditions locales (chaleur, vitesse). La température du milieu influence (en une faible mesure pour nos expériences) sa densité. Le son étant une onde mécanique, il se propage d’autant plus facilement que le milieu est dense. C’est pourquoi la vitesse du son diminue quand la chaleur augmente et inversement (de manière peu importante pour nos ordres de grandeur, c’est pour cela que nous considérerons que la vitesse du son dans l’air est constante pour toutes nos expériences).

Ma= U/a où U est la vitesse de l'objet (par rapport à son environnement) et a est la vitesse de propagation du son dans l'environnement considéré.

Si Ma<1, on parle d’écoulement subsonique. C’est le cas de figure que tout le monde a l’habitude de percevoir chaque jour. Quand Ma est égal à 1, on atteint le mur du son. L’onde de choc produite en atteignant 340 m/s (la vitesse du son dans l’air) est appelée bang supersonique. Si Ma>1, on parle désormais d'écoulement supersonique. Les perturbations voyagent moins vite que l’objet et donc un individu placé devant n’entendra rien : un silence absolu. Un individu au sol n'entendra pas l'avion quand il lui passera au-dessus mais seulement quand l'onde de choc l'aura rejoint : c'est le double "bang" bien connu ! L'intensité de cette onde de choc augmente avec la vitesse du corps qui l'a provoqué.

Pourquoi le calcule-t-on ? C’est une unité de vitesse très utilisée en aérodynamique, et notamment par le logiciel X-Foil. Il faut donc convertir toutes nos valeurs en m.s-1 en Mach (on divise par 340).

Puissance Moteur, en % de sa puissance maximale vitesse (m.s-1) vitesse en Mach
8 4,78 1,4.10-2
45 8,80 2,5.10-2
50 9,23 2,7.10-2
70 11,3 3,3.10-2
100 12,6 3,7.10-2

2 - Recherche du profil NACA correspondant

Créer le profil NACA de son aile requiert des logiciels payants. N’ayant pas le budget nécessaire, il nous faut donc trouver le profil existant le plus proche de notre pale. Grâce à ce site, nous comprenons comment sont classés les profils NACA de la base de données de X-Foil.
Les profils basiques sont constitués de quatre chiffres, les plus complexes comportent cinq chiffres.

Pour un NACA composé de quatre chiffres,

  • Le premier représente la cambrure relative maximale.
  • Le deuxième indique la position de la cambrure relative maximale sur la corde.
  • Les deux derniers représentent l’épaisseur relative du profil.

Ainsi, nous remplaçons par les valeurs de notre pale et cela donne :

  • 9%
  • 0,4                ⇒       Profil NACA 9410
  • 10%

3 - Calcul et interprétation

X-Foil se présente sous la forme d’une console mais rend ses résultats sous forme graphique.

Capture d’écran de la console :

Capture d'écran de la console

Capture d’écran de l’interface graphique des résultats :

Interface graphique des résultats

Sous forme de vecteurs :

Résultats sous forme de vecteurs

Nous rentrons dans la console plusieurs données :

  • Le profil NACA (ici NACA 9410).
  • La vitesse de la pale en MACH.
  • Le nombre de Reynolds qui correspond à cette vitesse.
  • L’angle d’incidence de la pale.

Le logiciel effectue les calculs et rend les résultats sous forme graphique.

On peut ainsi obtenir plusieurs données :

  • La valeur de CL (Coefficient Lift), un coefficient adimensionnalisé (sans unités). A angle d'attaque fixe, le CL ne varie pas, quelle que soit la vitesse, quelles que soient les dimensions de la pale (c’est là tout l’intérêt d’avoir des coefficients dits adimensionnalisés). En revanche, la portance, elle, varie. Nous la calculerons par la suite.
  • La valeur de CM (Coefficient Moment), également adimensionnalisé. Il indique la stabilité de la pale. Si CM>0, la pale aura tendance à augmenter son incidence. Si CM<0, la pale aura tendance à piquer du nez. Un profil est stable si et seulement si Cm=0, ce qui est presque impossible en pratique (c'est pour cela que les hélicoptères ont plusieurs pales !).
  • La valeur de CD (Coefficient Drag), également adimensionnalisé. Il indique la traînée de la pale.
  • Le rapport CL/CD, qui vient compléter CM. En effet, si ce rapport est trop élevé, la pale n’aura pas tendance à « s’arrêter en si bon chemin ». L’incidence de la pale évoluera de manière à ce que CL/CD soit moins fort.

Il faut vérifier si la pale est globalement stable. Une façon de faire est de vérifier que la courbe de l’intrados (bleue) n’est JAMAIS largement supérieure à celle de l’extrados (jaune). La plupart du temps, ce phénomène est situé près du bord d’attaque. Cela signifierait que les forces s’exerçant sur ce bord d’attaque feraient piquer la pale du nez : c’est la fermeture violente.

Pour calculer la portance à partir de CL, on applique la formule suivante :

$\overrightarrow{FPortance} = \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot V^{2} \cdot S \cdot CL$

  • $\overrightarrow{FPortance}$ est la force de la portance en N
  • $ρ$ est la masse volumique du fluide en question, en kg.m3
  • $V$ est la vitesse de la pale par rapport au fluide, en m.s-1
  • $S$ est la surface de référence = aire projetée, en m²
  • $CL$ est le coefficient adimensionnalisé donné par X-Foil, sans unité

 

Nous obtenons donc les valeurs de portance suivantes :

Puissance Moteur, en % de sa puissance maximale 8 45 50 70 100
CL 0,64 0,657 0,658 0,659 0,661
Surface de référence, en m² 1,162.10-3 1,162.10-3 1,162.10-3 1,162.10-3 1,162.10-3
Portance X-Foil en N (pour une pale) 0,010 0,036 0,041 0,060 0,074

 

Pour obtenir la portance totale créée par les quatre pales, c’est logique, on multiplie cette valeur par 4. Nous obtenons donc les valeurs de portance suivantes :

Puissance Moteur, en % de sa puissance maximale 8 45 50 70 100
Portance X-Foil en N (pour l'hélico en entier) 0,042 0,145 0,162 0,240 0,297

 4 - Sources d'erreurs éventuelles

Il faudrait trouver une force d’environ 0,40 N pour que l’hélicoptère décolle. Or, pour 70% de la puissance du moteur, c'est-à-dire la vitesse de décollage, nous trouvons 0,24 N. Nous obtenons donc une valeur 1,6 fois trop faible.

Comme pour la formule de Bernoulli, nous pensons à une erreur d’unités dans la formule.
Nous appliquons donc la même méthode de vérification de l’homogénéité de la formule.

$\overrightarrow{FPortance} = \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot V^{2} \cdot S \cdot CL$

$N = \frac{1}{2} \cdot kg \cdot m^{-3} \cdot m^{2} \cdot s^{-2} \cdot m^{2}$

$N = kg \cdot m^{-3} \cdot m^{2} \cdot s^{-2} m^{2}$

$N = m \cdot s^{-2} \cdot kg$

Le newton exprime une force. Une force correspond à l'accélération d'une masse rapportée sur une distance, elle est donc exprimée en $m \cdot s^{-2} \cdot kg$
Les unités de l’équation sont donc équilibrées, ce n’est pas de là que l’erreur provient.

Nous pensons ensuite à des approximations du logiciel. Nous nous renseignons sur sa fiabilité et nous apprenons que de nombreuses entreprises et universités l’utilisent. Son créateur, Mark Drela, professeur au MIT (Massachusetts Institute of Technology) est mondialement renommé dans ce secteur.

On peut donc penser que le logiciel X-Foil est fiable. Ce sont donc les données que nous avons rentrées dans le logiciel qui sont erronées. D’où peuvent provenir les sources d’erreur ?

On pourrait penser que la vitesse des pales n’est pas assez précise mais notre matériel étant adéquat, la source d’erreur principale ne devrait pas provenir de la vitesse.

CL pourrait être le facteur d’erreur. Il est calculé par le logiciel grâce à plusieurs données :

  • La vitesse, mais nous avons postulé que cela ne pouvait pas être la source d’erreur principale.
  • Le Nombre de Reynolds, mais il ne compte que très peu dans le résultat final, comme expliqué au début du III. Cette source d’erreur est donc négligeable.
  • Le profil NACA 9410. Ici semble se situer la principale source d’erreur. Comme expliqué, le profil NACA n’est pas identique à notre pale. De plus, les mesures qui ont permis de déterminer ce profil ne sont pas précises, en particulier pour les trois derniers chiffres. Ainsi, l’incertitude des mesures ne nous permet pas de choisir de manière scientifiquement justifiée entre les profils NACA 9408 à 9416, et de NACA 9508 à 9516.

Cette variation du profil NACA engendre une variation du CL, ce qui influencera le résultat final de la portance. Ajoutée à des imprécisions (obligatoires en Physique appliquée) sur les mesures de la vitesse et de la surface, nous obtiendrions sans doute une valeur plus proche de la valeur théorique (0,40 N).

IV. Limites physiques de la portance

 

Comme beaucoup de phénomènes physiques, la force de la portance a ses limites. Nous allons ici en détailler trois, les principales, mais il en existe d'autres.

A) La vitesse

Il existe plusieurs types de limites de vitesse pour les hélicoptères ; nous allons ici étudier deux de ces limites.

Limite sur la vitesse de l‘hélicoptère :

On considérera dans notre explication que les pales tournent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Schéma hélico 1Cas 1 : Vol stationnaire
Les pales tournent et ont donc une vitesse notée $\overrightarrow{v}$.

 

 

 

 

 

 

 

Schéma hélico 2Cas 2 : Vol linéaire à vitesse constante
Les pales tournent et ont donc une vitesse notée $\overrightarrow{v}$, à laquelle s’ajoute la vitesse de l’hélicoptère $\overrightarrow{V}$.

 

 

 

 

 

 

Schéma de la somme des forcesSomme des Forces
Les forces $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{V}$ s’ajoutent sur la pale avançante et sont retranchées sur la pale reculante.
La pale avançante se crée donc un vent relatif de face beaucoup plus important que la pale reculante. La portance est donc plus importante pour la pale avançante que pour la pale reculante ==> déséquilibre de l’hélicoptère dans sa totalité. Ce phénomène augmente proportionnellement avec la vitesse de l’hélicoptère.
Il est possible de résoudre partiellement ce problème avec un rotor spécial : il est incliné de façon à ce que la pale reculante ait une plus grande incidence. (==> Harmonisation de la portance sur le rotor).
C’est pourquoi la vitesse des hélicoptères est généralement limitée à 350 km.h-1, même si certains engins atteignent des vitesses record de plus de 400 km.h-1.

 

Limite sur la vitesse des pales :

La limite la plus compréhensible est celle du mur du son. Une fois cette vitesse dépassée, des vibrations insupportables pour la structure se produisent, ce qui peut avoir des conséquences mortelles pour les passagers (dislocation de la structure, cockpit et rotor).

C’est pourquoi la vitesse en bout de pale des hélicoptères les plus performants s’approche de cette vitesse limite sans jamais la dépasser.

B) L'altitude

On sait que la portance est d’autant plus importante que la masse volumique de l’air augmente. Nous allons donc voir quels facteurs peuvent influencer cette valeur en fonction de l’altitude.

Nous nous baserons sur une atmosphère type OACI (l'Organisation de l'Aviation Civile Internationale). Elle couvre les altitudes jusqu'à 80 km sans prendre en compte l’humidité ambiante (base : 0% d’humidité, ce qui est impossible dans nos expériences).

Premièrement, plus l’on s’éloigne du centre de la Terre, plus la gravité diminue (inversement proportionnelle au carré de la distance). Les "molécules d’air" sont donc moins attirées par la Terre : elles sont plus dispersées. Ainsi, on constate que plus de 85% de la masse de l'atmosphère est concentrée sur les 30 premiers km d'altitude. S'il y a moins de molécules, cela veut dire que la masse volumique de l’air à haute altitude a une masse volumique moindre qu’au niveau de la mer par exemple.

Cependant, la température vient nuancer ce raisonnement, comme démontré ci-dessous. La masse volumique de l’air varie selon la température selon la formule suivante :

$ρ = 1,293 \frac{273,15}{\theta}$

:
  • $ρ$ est la masse volumique de l’air, en kg.m3
  • $\theta$ est la température de l’air en Kelvin

La masse volumique est donc inversement proportionnelle à la température. Or, la température de l’air varie en fonction de l’altitude (il fait plus froid en montagne) selon la formule suivante :

$\theta (z) = \theta (0) - 6,5 \cdot 10^{-3} \cdot z$

:
  • $ρ$ est la température en K (ou en °C car on ne parle que de variations, mais on la préférera en K)
  • $z$ est l’altitude en km
  • $\theta (0) = 15°C = 288°K$

Ainsi, on obtient la relation suivante :

 $ρ = 1,293 \frac{273,15}{288 - 6,5 \cdot 10^{-3} \cdot z}$

Cette relation indique que l’air est de plus en plus froid et donc de plus en plus dense quand l’altitude augmente. Néanmoins, cette variation est beaucoup plus faible que l’action de la gravité.

L’addition de ces deux formules donne cependant une masse volumique globalement décroissante quand l’altitude augmente.

La formule de la portance a comme facteur la masse volumique de l'air (de degré 1 certes mais cela reste une limite majeure). Cela signifie que la portance diminue quand la masse volumique de l'air environnent. C’est pourquoi les avions et hélicoptères ont une limite physique d’altitude. Elle dépend des modèles, car elle est d'autant plus haute que la portance maximale est importante. Le record de 12,442 km au-dessus du niveau de la mer est détenu par le Français Jean Boulet (pour l’anecdote, son moteur a ensuite pris feu car trop sollicité).

C) Les turbulences

Définition :

La turbulence désigne l'état d'un fluide, liquide ou gaz, qui présente un caractère tourbillonnaire. La taille, la localisation et l’orientation des tourbillons varient constamment. Les écoulements turbulents se caractérisent donc par une apparence très désordonnée, un comportement difficilement prévisible. En aérodynamique, cet écoulement du fluide ne permet pas à l’aile de créer une portance régulière dans le temps.

Dans les cas les plus conséquents, cela se ressent fortement dans le corps de l’appareil : c’est un trou d’air, et la chute temporaire (assez stressant à vivre même quand on sait que ce n’est que temporaire).

Dans notre cas, l’hélicoptère réduit ayant une masse faible, un simple mouvement brusque autour de son environnement crée un appel d’air et suffit à le déstabiliser : perte de portance.

Nos valeurs sont donc peut-être faussées par les turbulences de chaque pale, qui peuvent influencer la vitesse de l’autre niveau de pales.

Conclusion

 

Pour conclure,résumons notre démarche scientifique tout au long de ce TPE.

Notre but est de déterminer la valeur de la force qui permet à l'hélicoptère de voler : c'est la portance.

Nous avons besoin de plusieurs valeurs. Nous pouvons en calculer certaines (masse volumique de l'air, surface de référence de la pale), mais nous devons en mesurer une, la vitesse des pales. C'est pour cela que nous avons réalisé deux expériences.

Cette valeur nous permet d'appliquer le théorème de Bernoulli, qui relie la vitesse du fluide et à sa pression dynamique. Ce théorème étant bien trop approximatf, nous décidons d'utiliser un logiciel. Nous trouvons une valeur trop faible, mais qui peut s'expliquer par des erreurs de mesures.

Ce TPE nous a apporté beaucoup sur le plan scientifique (rigueur des expériences, etc) mais aussi pour le travail de groupe et la gestion du temps.

Bibliographie et remerciements

A) Bibliographie

Voici la liste des documents consultés :

B) Remerciements

Nous avons été bien entourés pour ce TPE, aussi nous remercions vivement :

  • Nos professeurs M. Lacombe et M. Caboche pour leur suivi et leur aide tout au long de l’année.
  • Lilian Rouzaire, 12 ans, pour la conception du site
  • David Fisher pour nous avoir prêté son hélicoptère réduit pendant toute la durée du TPE.

Comments

Je ne pouvais m'abstenir de commenter. Tellement bien imagé!

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